Question

7．已知不等式$\frac{{k{x^2}+kx+4}}{{{x^2}+x+1}}$＞1．
（1）若不等式對于任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）若不等式對于任意x∈（0，1]恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先利用配方法化簡不等式分母，再等價轉(zhuǎn)化為對應(yīng)一元二次不等式，化簡后對k分類討論，由條件和一元二次不等式恒成立問題，列出不等式組求出實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）由（1）化簡不等式，由x∈（0，1]得x²+x＞0，分離出k后再化簡右邊，由x∈（0，1]求出右邊的范圍，根據(jù)恒成立求出實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答 解：（1）∵x²+x+1=${（x+\frac{1}{2}）}^{2}+\frac{3}{4}$＞0，
∴$\frac{k{x}^{2}+kx+4}{{x}^{2}+x+1}＞1$ 等價于kx²+kx+4＞x²+x+1，
則（k-1）x²+（k-1）x+3＞0，
由題意得，（k-1）x²+（k-1）x+3＞0對于任意x∈R恒成立，
當(dāng)k-1=0即k=1時，不等式為3＞0，成立；
當(dāng)k-1≠0即k≠1時，$\left\{\begin{array}{l}{k-1＞0}\\{△=（k-1）^{2}-12（k-1）＜0}\end{array}\right.$，
解得1＜k＜13，
綜上所述：實(shí)數(shù)k的取值范圍是[1，13）；
（2）由（1）可知，k（x²+x）＞x²+x-3，
由x∈（0，1]得，x²+x＞0，
∵不等式對于任意x∈（0，1]恒成立，
∴$k＞\frac{{x}^{2}+x-3}{{x}^{2}+x}$=$1-\frac{3}{{x}^{2}+x}$對于任意x∈（0，1]恒成立，
設(shè)y=x²+x，由x∈（0，1]得y∈（0，2]，
∴$\frac{3}{2}≤\frac{3}{{x}^{2}+x}$，則$1-\frac{3}{{x}^{2}+x}≤-\frac{1}{2}$，則k＞$-\frac{1}{2}$，
即實(shí)數(shù)k的取值范圍是（$-\frac{1}{2}，+∞$）．

點(diǎn)評 本題考查了分式不等式的轉(zhuǎn)化問題，一元二次不等式解法，以及恒成立的轉(zhuǎn)化問題，考查轉(zhuǎn)化思想，化簡、變形能力．