Question

20．在直角坐標xOy中，直線l的參數(shù)方程為{$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=3+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）在以O為極點．x軸正半軸為極軸的極坐標系中．曲線C的極坐標方程為ρ=4sinθ-2cosθ．
（I）求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標方程：
（Ⅱ）若直線l與y軸的交點為P，直線l與曲線C的交點為A，B，求|PA||PB|的值．

Answer 1

分析 （1）由x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，得t=$\sqrt{2}$x，將其代入y=3+$\frac{\sqrt{2}}{2}$t中，即可得出直線l的直角坐標方程．由ρ=2cosθ+4sinθ，得ρ²=2ρcosθ+4ρsinθ，把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入即可得出曲線C的直角坐標方程．
（2）分別求出P、A、B的坐標，根據(jù)兩點之間的距離公式計算即可．

解答 解：（1）由x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，得t=$\sqrt{2}$x，將其代入y=3+$\frac{\sqrt{2}}{2}$t中得：y=x+3，
∴直線l的直角坐標方程為x-y+3=0．
由ρ=4sinθ-2cosθ，得ρ²=4ρsinθ-2ρcosθ，
∴x²+y²=4y-2x，即x²+y²+2x-4y=0，
∴曲線C的直角坐標方程為x²+y²+2x-4y=0；
（2）由l：y=x+3，得P（0，3），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+3}\\{{x}^{2}{+y}^{2}+2x-4y=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{2+\sqrt{10}}{2}}\\{y=\frac{4-\sqrt{10}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-2+\sqrt{10}}{2}}\\{y=\frac{4+\sqrt{10}}{2}}\end{array}\right.$，
∴|PA||PB|=$\sqrt{{（-\frac{2+\sqrt{10}}{2}-0）}^{2}{+（\frac{4-\sqrt{10}}{2}-3）}^{2}}$•$\sqrt{{（\frac{-2+\sqrt{10}}{2}-0）}^{2}{+（\frac{4+\sqrt{10}}{2}-3）}^{2}}$=3．

點評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標方程化為直角坐標方程、曲線的交點，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．