Question

12．過(guò)點(diǎn)M（-2，0）的直線l與圓x²+y²=1交于A、B兩點(diǎn)，則線段AB的中點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)度為2π．

Answer 1

分析 聯(lián)立直線方程和圓的方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到點(diǎn)M的軌跡，再由圓的周長(zhǎng)得答案．

解答 解：聯(lián)立y=k（x+2）與圓x²+y²=1，消去y得：（1+k²）x²+4k²x+4k²-1=0．
由△=（4k²）²-4（1+k²）（4k²-1）=4-12k²＞0，得-$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜k＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），
則x=-$\frac{2{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$，y=$\frac{2k}{1+{k}^{2}}$．
消去k得：x²+y²=-2x，即（x+1）²+y²=1．
則點(diǎn)M的軌跡是以（-1，0）為圓心，以1為半徑的圓，其長(zhǎng)度為2π．
故答案為：2π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了軌跡方程的求法，考查了消參法求曲線的軌跡方程，是中檔題．