Question

6．已知函數(shù)f（x）=2sin²（$\frac{π}{4}$+x）-$\sqrt{3}$cos2x．
（1）求f（x）的對(duì)稱(chēng)中心；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）-m=2在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上有二解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)誘導(dǎo)公式以及二倍角公式，輔助角公式對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)，再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得到結(jié)論．
（2）先根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的值域，再把方程有解轉(zhuǎn)化為f（x）與m+2的取值范圍相同即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵f（x）=2sin²（$\frac{π}{4}$+x）-$\sqrt{3}$cos2x
=1-cos（$\frac{π}{2}$+2x）-$\sqrt{3}$cos2x
=1+sin2x-$\sqrt{3}$cos2x
=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1，…（4分）
∴由2x-$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z，解得：x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z，可得f（x）的對(duì)稱(chēng)中心為：（$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，1），k∈Z…（6分）
（2）∵x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，所以2x-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]，
所以f（x）的值域?yàn)閇2，3]，…（8分）
而f（x）=m+2，所以m+2∈[2，3]，即m∈[0，1]．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)中恒等變換應(yīng)用以及整體代入思想的應(yīng)用，在求三角函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，一般都用整體代入思想，比如本題中令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，還考查了三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心的求解，要求熟練掌握正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．