Question

17．在銳角△ABC中，已知AB=2，∠B=2∠C，則AC的取值范圍是（　　）

• A． （2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{3}$）
• B． （2，2$\sqrt{2}$）
• C． （2$\sqrt{2}$，4）
• D． （2，2$\sqrt{3}$）

Answer 1

分析 根據(jù)正弦定理和B=2C及二倍角的正弦公式化簡得到AC=4cosC，要求AC的范圍，只需找出2cosC的范圍即可，根據(jù)銳角△ABC和B=2C求出C的范圍，然后根據(jù)余弦函數(shù)的增減性得到cosC的范圍即可．

解答 解：∵△ABC是銳角三角形，A為銳角，
∴C+B＞$\frac{π}{2}$，由B=2C得到C+2C＞$\frac{π}{2}$，且2C=B＜$\frac{π}{2}$，
解得：$\frac{π}{6}$＜C＜$\frac{π}{4}$，
∴$\sqrt{2}$＜2cosC＜$\sqrt{3}$，
根據(jù)正弦定理$\frac{AB}{sinC}=\frac{AC}{sinB}$，B=2C，
得到$\frac{2}{sinC}=\frac{AC}{2sinCcosC}$，即AC=4cosC，
則AC的取值范圍為（2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{3}$）．
故選：A．

點評 此題考查了正弦定理，以及二倍角的正弦公式化簡求值，本題的突破點是根據(jù)三角形為銳角三角形、內(nèi)角和定理及B=2C變換角得到角的范圍，屬于基本知識的考查．