Question

1．已知函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=2f（x），且當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=-x²+2x，若函數(shù)g（x）=f（x）-a|x-1|在區(qū)間[0，4]上有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，8-4$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 作函數(shù)f（x）與y=a|x-1|在區(qū)間[0，4]上的圖象，求導(dǎo)f′（x）=-4x+12，從而由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得．

解答 解：由題意，作函數(shù)f（x）與y=a|x-1|在區(qū)間[0，4]上的圖象如下，
，
當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，x-2∈[0，2]，
f（x）=2f（x-2）=-2x²+12x-16，
f′（x）=-4x+12，
故由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，
$\frac{-2{x}^{2}+12x-16}{x-1}$=-4x+12，
解得，x=1+$\sqrt{3}$或x=1-$\sqrt{3}$，
故a=-4-4$\sqrt{3}$+12=8-4$\sqrt{3}$，
或a=-4+4$\sqrt{3}$+12=8+4$\sqrt{3}$（舍去），
結(jié)合圖象可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，8-4$\sqrt{3}$）；
故答案為：（0，8-4$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用及導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．