Question

13．以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知射線l：θ=$\frac{π}{4}$與曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=t+1}\\{y=（t-1）^{2}}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）相交于A，B兩點(diǎn)．
（1）寫(xiě)出射線l的直角坐標(biāo)方程和曲線C的普通方程；
（2）求線段AB的中點(diǎn)的極坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）射線l：θ=$\frac{π}{4}$的直角坐標(biāo)方程為y=x（x≥0）．把曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=t+1}\\{y=（t-1）^{2}}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t，化為直角坐標(biāo)方程．
（2）直線方程與拋物線方程聯(lián)立解得交點(diǎn)A，B，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得AB的中點(diǎn)．

解答 解：（1）射線l：θ=$\frac{π}{4}$的直角坐標(biāo)方程為y=x（x≥0）．
把曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=t+1}\\{y=（t-1）^{2}}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t，化為直角坐標(biāo)方程為y=（x-2）²．
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=（x-2）^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=4}\end{array}\right.$，
∴A（1，1），B（4，4），
故AB的中點(diǎn)為$（\frac{5}{2}，\frac{5}{2}）$，
化為極坐標(biāo)為$（\frac{5\sqrt{2}}{2}，\frac{π}{4}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．