Question

19．已知數(shù)列{a_n}前n項和為S_n，滿足${S_n}=2{a_n}-2n（n∈{N^*}）$
（1）證明：{a_n+2}是等比數(shù)列，并求{a_n}的通項公式；
（2）數(shù)列{b_n}滿足b_n=log₂a_n+2，T_n為數(shù)列$\left\{{\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}}\right\}$的前n項和，求T_n．

Answer 1

分析 （1）由S_n=2a_n-2n化簡可得a_n+1+2=2（a_n+2），易知a₁+2=4≠0，從而證明{a_n+2}是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列；從而求通項公式；
（2）化簡b_n=log₂（a_n+2）=n+1，從而得到$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，利用裂項求和法求T_n．

解答 解：（1）證明：∵S_n=2a_n-2n，∴S_n+1=2a_n+1-2（n+1），
∴a_n+1=2a_n+1-2a_n-2，
∴a_n+1=2a_n+2，
∴a_n+1+2=2（a_n+2），
又∵a₁+2=4≠0，
∴{a_n+2}是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列．
故a_n+2=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹，
故a_n=2ⁿ⁺¹-2；
（2）∵b_n=log₂（a_n+2）=n+1，
∴$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，
∴T_n=（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$=$\frac{n}{2n+4}$．

點評 本題考查了等比數(shù)列的判斷與等比數(shù)列的通項公式的應(yīng)用，同時考查了對數(shù)運算及裂項求和法的應(yīng)用．