Question

7．求（1+2x）¹⁰的展開式中
（1）求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；
（2）求系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析 （1）由已知二項(xiàng)式可知展開式由11項(xiàng)，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，由此求得二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；
（2）寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{10}^{r}{2}^{r}≥{C}_{10}^{r-1}{2}^{r-1}}\\{{C}_{10}^{r}{2}^{r}≥{C}_{10}^{r+1}{2}^{r+1}}\end{array}\right.$，求得r的范圍得答案．

解答 解：（1）（1+2x）¹⁰的展開式中共有11項(xiàng)，
中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，T₆=${C}_{10}^{5}$2⁵x⁵；
（2）（1+2x）¹⁰的展開式的通項(xiàng)公式為${T}_{r+1}={C}_{10}^{r}{2}^{r}{x}^{r}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{10}^{r}{2}^{r}≥{C}_{10}^{r-1}{2}^{r-1}}\\{{C}_{10}^{r}{2}^{r}≥{C}_{10}^{r+1}{2}^{r+1}}\end{array}\right.$，解得$\frac{19}{3}≤r≤\frac{22}{4}$，故r=7．
即系數(shù)最大的項(xiàng)為第8項(xiàng)，為${T}_{8}={C}_{10}^{8}{2}^{7}{x}^{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，熟記二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，同時(shí)注意二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別，是中檔題．