Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx的圖象與直線y=-3x+8相切于點(diǎn)P（2，2）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)$g（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{m+1}{2}{x^2}+mx-\frac{1}{3}（m＞1）$，對(duì)于?x₁∈[0，4]，?x₂∈[0，4]，使得f（x₁）=g（x₂），求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由切線的方程，解方程可得a，b，進(jìn)而得到f（x）的解析式；
（Ⅱ）求出導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間；
（Ⅲ）記f（x）在[0，4]上的值域?yàn)锳，g（x）在[0，4]上的值域?yàn)锽，由題意可得A⊆B．分別求得f（x），g（x）在[0，4]的值域，注意運(yùn)用分類討論和函數(shù)的單調(diào)性，可得．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx的圖象
與直線y=-3x+8相切于點(diǎn)P（2，2），
∴f′（2）=-3，f（2）=2．
∵f′（x）=3x²+2ax+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}8+4a+2b=2\\ 3×{2^2}+2a×2+b=-3\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=-6\\ b=9\end{array}\right.$．
∴f（x）=x³-6x²+9x．                          
（Ⅱ）f′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3），
令f′（x）＞0，得x＜1或x＞3；
令f′（x）＜0，得1＜x＜3．
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，1），（3，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為（1，3）． 
（Ⅲ）記f（x）在[0，4]上的值域?yàn)锳，g（x）在[0，4]上的值域?yàn)锽，
∵對(duì)于?x₁∈[0，4]，?x₂∈[0，4]，使得f（x₁）=g（x₂），
∴A⊆B．
由（Ⅱ）得：f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，在（1，3）上單調(diào)遞減，
在[3，4]上單調(diào)遞增，f（0）=0，f（1）=4，f（3）=0，f（4）=4，
∴A=[0，4]．
∵$g（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{m+1}{2}{x^2}+mx-\frac{1}{3}（m＞1）$，
∴g′（x）=x²-（m+1）x+m=（x-1）（x-m）．
①當(dāng)1＜m＜4時(shí)，g（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，
在[1，m]上單調(diào)遞減，在[m，4]上單調(diào)遞增，
∴g（x）的最小值為g（0）或g（m），g（x）的最大值為g（1）或g（4）．
∵$g（0）=-\frac{1}{3}＜0$，且A⊆B，
∴g（1）≥4或g（4）≥4，
∴$g（1）=\frac{1}{2}m-\frac{1}{2}≥4$或g（4）=-4m+13≥4，
即m≥9或$m≤\frac{9}{4}$．
又∵1＜m＜4，∴$1＜m≤\frac{9}{4}$．
②當(dāng)m≥4時(shí)，g（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，[1，4]上單調(diào)遞減，
∴g（x）的最小值為g（0）或g（4），g（x）的最大值為g（1）．
∵$g（0）=-\frac{1}{3}＜0$，且A⊆B，
∴g（1）≥4，∴$\frac{1}{2}m-\frac{1}{2}≥4$，即m≥9．
綜上所述：$1＜m≤\frac{9}{4}$或m≥9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查任意性和存在性問(wèn)題的解法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域的關(guān)系，考查運(yùn)算能力和分類討論的思想方法，屬于中檔題．