Question

20．已知函數(shù)$f（x）=\frac{x-a}{ax}（{a＞0}）$
（1）判斷并證明y=f（x）在x∈（0，+∞）上的單調(diào)性；
（2）若存在x₀，使f（x₀）=x₀，則稱x₀為函數(shù)f（x）的不動點，現(xiàn)已知該函數(shù)在（0，+∞）上有兩個不等的不動點，求a的取值范圍；
（3）若y=f（x）-x的值域為{y|y≥5或y≤1}，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，運用單調(diào)性的定義，注意作差、變形、定符號和下結(jié)論等步驟；
（2）令f（x）=x，即有$\frac{1}{a}$=x+$\frac{1}{x}$，求出右邊的最小值，即可得到范圍；
（3）將函數(shù)整理成二次方程的形式，運用判別式不小于0，再由值域可得，1，5是a²y²-2ay+1-4a²=0的兩根，運用韋達定理，即可得到a即可．

解答 解：（1）f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
理由如下：設0＜m＜n，則f（m）-f（n）=$\frac{m-a}{am}$-$\frac{n-a}{na}$=$\frac{m-n}{mn}$，
由于0＜m＜n，則m-n＜0，mn＞0，則f（m）-f（n）＜0，
即有f（m）＜f（n）．則f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）令f（x）=x，即有$\frac{1}{a}$=x+$\frac{1}{x}$，
由于x＞0時，x+$\frac{1}{x}$≥2，當且僅當x=1取最小值2，
則$\frac{1}{a}$＞2，解得0＜a＜$\frac{1}{2}$；
（3）由于y=f（x）-x，即為ax²+（ay-1）x+a=0，
由判別式大于等于0，得，（ay-1）²-4a²≥0，
即有a²y²-2ay+1-4a²≥0，
由函數(shù)的值域，可知1，5是a²y²-2ay+1-4a²=0的兩根，
則有1+5=$\frac{2}{a}$，且1×5=$\frac{1-{4a}^{2}}{{a}^{2}}$，
解得：a=$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷，函數(shù)的零點的運用，考查運用判別式法求函數(shù)的值域，屬于中檔題．