Question

11．如圖，橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，其右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（c，0），過(guò)F作斜率為1的直線，交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)C，使$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}$．
（1）求a與b之間的等量關(guān)系．
（2）若|$\overrightarrow{AB}$|=5，求該橢圓的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由題意可得直線AB的方程為，y=x-c．與橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，再利用向量$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}$，可得點(diǎn)C的坐標(biāo)，代入橢圓方程，再利用c²=a²-b²，即可得出a與b之間的等量關(guān)系．
（2）若|$\overrightarrow{AB}$|=5，利用弦長(zhǎng)公式求出a，b，即可求該橢圓的方程．

解答 解：（1）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由題意可得直線AB的方程為，y=x-c．
代入橢圓方程，化為（a²+b²）x²-2a²cx+a²c²-a²b²=0，
∵△＞0，∴x₁+x₂=$\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+^{2}}$，
∴y₁+y₂=x₁+x₂-2c=$\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+^{2}}$-2c=-$\frac{2^{2}c}{{a}^{2}+^{2}}$．
∵$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}$，∴（x_c，y_c）=（x₁，y₁）+（x₂，y₂）=（x₁+x₂，y₁+y₂）．
∴x_c=$\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+^{2}}$，y_c=-$\frac{2^{2}c}{{a}^{2}+^{2}}$，
∵點(diǎn)C在橢圓上，∴代入橢圓方程，化為4c²=a²+b²，
∵c²=a²-b²，∴4（a²-b²）=a²+b²，化為a=$\frac{\sqrt{15}}{3}$b；
（2）由（1）知，b=$\frac{\sqrt{15}}{5}a$，c=$\frac{\sqrt{10}}{5}$a，
∴x₁+x₂=$\frac{\sqrt{10}}{4}$a，x₁x₂=-$\frac{1}{8}{a}^{2}$，
∴|AB|=$\sqrt{1+1}$•$\sqrt{\frac{10}{16}{a}^{2}+\frac{1}{2}{a}^{2}}$=$\frac{3}{2}$a=5，
∴a=$\frac{10}{3}$，b=$\frac{2\sqrt{15}}{3}$，
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{\frac{100}{9}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{60}{9}}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、向量的運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于中檔題．