Question

16．已知函數(shù)$f（x）=x+\frac{a}{x}，（a＞0）$有如下性質(zhì)：該函數(shù)在$（{0，\sqrt{a}}]$上是減函數(shù)，在$（\sqrt{a}，+∞）$上是增函數(shù)．
（1）若a=4，求f（x）在區(qū)間[1，3]上的最大值與最小值；
（2）若x∈[1，3]時，不等式f（x）≥2恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，在[2，3]上單調(diào)遞增，可得f（x）的最小值為f（2），最大值為f（3）；
（2）討論①若$0＜\sqrt{a}≤1$即0＜a≤1，②若$1＜\sqrt{a}＜3$即1＜a＜9，③若$\sqrt{a}≥3$即a≥9，求出單調(diào)性，可得最小值，解不等式即可得到所求a的范圍．

解答 解：（1）a=4時，f（x）=$x+\frac{4}{x}$，
則f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，在[2，3]上單調(diào)遞增，
f_min（x）=f（2）=4，
f_max（x）=max {f（1），f（3）}=$\frac{13}{3}$；
（2）①若$0＜\sqrt{a}≤1$即0＜a≤1，
則f（x）在[1，3]上單調(diào)遞增，f_min（x）=f（1）=1+a．
所以，1+a≥2，即a≥1，所以a=1．                  
②若$1＜\sqrt{a}＜3$即1＜a＜9，
則f（x）在[1，a]上單調(diào)遞減，在[a，3]上單調(diào)遞增，
f_min（x）=f（$\sqrt{a}$）=2$\sqrt{a}$．所以，2$\sqrt{a}$≥2，得a≥1，又1＜a＜9，
∴1＜a＜9                                        
③若$\sqrt{a}≥3$即a≥9，
則f（x）在[1，3]上單調(diào)遞減，
f_min（x）=f（3）=3+$\frac{a}{3}$≥2，
得a≥-3，又a≥9，∴a≥9．                                
綜上，a的取值范圍是a≥1．

點評 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運用單調(diào)性，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用分類討論的思想方法和單調(diào)性的運用，屬于中檔題．