Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\frac{3x}{2x+3}$，數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=f（a_n），n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令T_n=a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+a₄a₅+…+a_2n-1a_2n+a_2na_2n+1，求T_n的值．

Answer 1

分析 （1）通過代入、取倒數(shù)可知$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{{a}_{n}}$，進(jìn)而可知數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首項(xiàng)為1、公差為$\frac{2}{3}$的等差數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過（1）裂項(xiàng)可知a_na_n+1=$\frac{9}{2}$•（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$），進(jìn)而并項(xiàng)相加即得結(jié)論．

解答 解：（1）依題意，$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{f（{a}_{n}）}$=$\frac{2{a}_{n}+3}{3{a}_{n}}$=$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{{a}_{n}}$，
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首項(xiàng)為1、公差為$\frac{2}{3}$的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+$\frac{2}{3}$（n-1）=$\frac{2n+1}{3}$，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=$\frac{3}{2n+1}$；
（2）由（1）可知a_na_n+1=$\frac{3}{2n+1}$•$\frac{3}{2n+3}$=$\frac{9}{2}$•（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$），
∴T_n=a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+a₄a₅+…+a_2n-1a_2n+a_2na_2n+1
=$\frac{9}{2}$•（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{4n+1}$-$\frac{1}{4n+3}$）
=$\frac{9}{2}$•（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4n+3}$）
=$\frac{6n}{4n+3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，對(duì)表達(dá)式的靈活變形及裂項(xiàng)求和是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．