Question

6．在多面體ABCDEF中，底面ABCD是梯形，四邊形ADEF是正方形．AB∥DC，AB=AD=1，CD=2，AC=EC=$\sqrt{5}$．
（1）求證：平面EBC⊥平面EBD；
（2）設M為線段EC上一點，且3EM=EC，試問在線段BC上是否存在一點T，使得MT∥平面BDE，若存在，試指出點T的位置；不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）推導出AD⊥DC，?ED⊥DC，AD⊥DE，DA⊥AB，?在梯形ABCD中，過點B作BH⊥CD于H，從而四邊形ABHD是正方形，從而BC⊥BD，由此能證明平面EBC⊥平面EBD．
（2）在線段BC上取一點T，使3BT=TC，則MT∥平面BDE．

解答 證明：（1）∵AD=1，CD=2，AC=$\sqrt{5}$，
∴AD²+CD²=AC²，∴△ADC為直角三角形，且AD⊥DC，?
同理∵ED=1，CD=2，EC=$\sqrt{5}$，
∴ED²+CD²=EC²，∴△EDC為直角三角形，且ED⊥DC，
又四邊形ADEF是正方形，∴AD⊥DE，
又∵AB∥DC，∴DA⊥AB，?
在梯形ABCD中，過點B作BH⊥CD于H，
故四邊形ABHD是正方形，∴∠ADB=45°，
在△BCH中，BH=CH=1，∠BCH=45°，BC=$\sqrt{2}$，
∴在∠BDC=45°，∴∠DBC=90°，∴BC⊥BD，
∵ED⊥AD，ED⊥DC，AD∩DC=D，
∴ED⊥平面ABCD，
又∵BC?平面ABCD，∴ED⊥BC，
∵BD∩ED=D，BD?平面EBD，ED?平面EBD，
∴BC⊥平面EBD，BC?平面EBC，
∴平面EBC⊥平面EBD．
解：（2）∵M為線段EC上一點，且3EM=EC，
在線段BC上取一點T，使3BT=TC，則MT∥平面BDE．
理由如下：
∵M為線段EC上一點，且3EM=EC，T為BC上一點，3BT=TC，
∴MT∥BE，∵BE?平面BDE，MT?平面BDE，
∴MT∥平面BDE．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查滿足線面平行的點的位置的確定與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．