Question

11．已知函數(shù)f（x）=x²+bx+c（b，c∈R）
（1）方程f（x）-x=0的兩根滿足0＜x₁＜x₂＜1，證明：當(dāng)0＜x＜x₁時(shí)，x＜f（x）＜x₁；
（2）對(duì)于滿足c≥|b|的任意實(shí)數(shù)b，c，不等式f（c）-f（b）≤M（c²-b²）恒成立，求M的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得f（x₁）=x₁，f（x）在（0，x₁）上是減函數(shù)，而y=x在（0，x₁）上是增函數(shù)，數(shù)形結(jié)合可得要證的不等式成立．
（2）當(dāng)c＞|b|時(shí)，M≥$\frac{c+2b}{c+b}$，令$\frac{c}$=t，則-1＜t＜1，令g（t）=$\frac{c+2b}{c+b}$，求得g（t）的值域，可得M≥$\frac{3}{2}$．當(dāng)c=|b|時(shí)，M=$\frac{3}{2}$檢驗(yàn)滿足條件，綜合可得結(jié)論．

解答 解：（1）證明：∵f（x）=x²+bx+c，方程f（x）-x=0的兩根滿足0＜x₁＜x₂＜1，
∴f（x₁）=x₁，f（x）在（0，x₁）上是減函數(shù)，而y=x在（0，x₁）上是增函數(shù)，如圖所示：
故當(dāng)0＜x＜x₁時(shí)，x＜f（x）＜f（x₁）=x₁，即 x＜f（x）＜x₁成立．
（2）由于c≥|b|，不等式f（c）-f（b）≤M（c²-b²）恒成立，
∴當(dāng)c＞|b|時(shí)，M≥$\frac{f（c）-f（b）}{{c}^{2}{-b}^{2}}$=$\frac{c+2b}{c+b}$．
令$\frac{c}$=t，則-1＜t＜1，令g（t）=$\frac{c+2b}{c+b}$=2-$\frac{1}{t+1}$，則g（t）的值域?yàn)椋?∞，$\frac{3}{2}$），
∴M≥$\frac{3}{2}$．
當(dāng)c=|b|時(shí)，由于f（x）的對(duì)稱軸為x=-$\frac{2}$，f（0）=c=f（-b），可得c=-b=f（-b），
再結(jié)合（1），可得c=-b=2，此時(shí)，f（x）=x² -2x+2=（x-1）²+1，f（c）=f（2）=2，
f（b）=f（-2）=10，f（c）-f（b）=-8，顯然f（c）-f（b）≤$\frac{3}{2}$（c²-b²）恒成立，
綜上可得，M的最小值為$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．