Question

10．已知直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t+4\sqrt{2}\end{array}\right.$（其中t為參數(shù)），圓C的極坐標方程為$ρ=2cos（{θ+\frac{π}{4}}）$，
（Ⅰ）將圓C的極坐標方程和直線l的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程．
（Ⅱ）過直線l上的點向圓C引切線，求切線長的最小值．

Answer 1

分析 （I）先利用三角函數(shù)的和角公式展開圓C的極坐標方程的右式，再利用直角坐標與極坐標間的關(guān)系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進行代換即得圓C的直角坐標方程；消去參數(shù)，可得直線l的參數(shù)方程．
（II）欲求切線長的最小值，轉(zhuǎn)化為求直線l上的點到圓心的距離的最小值，故先在直角坐標系中算出直線l上的點到圓心的距離的最小值，再利用直角三角形中邊的關(guān)系求出切線長的最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）∵圓C的極坐標方程為ρ=2cos（θ+$\frac{π}{4}$），∴ρ²=$\sqrt{2}$ρcosθ-$\sqrt{2}$ρsinθ，
∴x²+y²=$\sqrt{2}$x-$\sqrt{2}$y，即（x-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$）²+（y+$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$）²₌1，
∴圓C是以M（$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$）為圓心，1為半徑的圓
化直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t+4\sqrt{2}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）為普通方程：x-y+4$\sqrt{2}$=0，…（3分）
（Ⅱ）∵圓心M（$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$）到直線l的距離為d=$\frac{{|{5\sqrt{2}}|}}{{\sqrt{2}}}$=5，…（5分）
要使切線長最小，必須直線l上的點到圓心的距離最小，此最小值即為圓心M（$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$）到直線的距離d，
由勾股定理求得切線長的最小值為$\sqrt{{d^2}-{r^2}}$=$\sqrt{{5^2}-{1^2}}$=2$\sqrt{6}$．…（7分）

點評 本題考查點的極坐標和直角坐標的互化，能在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置，體會在極坐標系和平面直角坐標系中刻畫點的位置的區(qū)別，能進行極坐標和直角坐標的互化．