Question

13．?dāng)?shù)列{a_n}中，滿足a_n+2=2a_n+1-a_n，且a₁，a₄₀₃₁是函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-4{x^2}+6x-1$的極值點，則log₂a₂₀₁₆的值是（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 利用導(dǎo)數(shù)即可得出函數(shù)的極值點，再利用等差數(shù)列的性質(zhì)及其對數(shù)的運算法則即可得出．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-4{x^2}+6x-1$，可得f′（x）=x²-8x+6，
∵a₁、a₄₀₃₁是函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-4x²+12x+1的極值點，
∴a₁、a₄₀₃₁是方程x²-8x+12=0的兩實數(shù)根，則a₁+a₄₀₃₁=8．
數(shù)列{a_n}中，滿足a_n+2=2a_n+1-a_n，
可知{a_n}為等差數(shù)列，
∴a₁+a₄₀₃₁=2a₂₀₁₆，即a₂₀₁₆=4，
從而log₂a₂₀₁₆=log₂4=2．
故選：A．

點評 熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、等差數(shù)列的性質(zhì)及其對數(shù)的運算法則是解題的關(guān)鍵．