Question

8．設(shè)函數(shù)f（x）=x，（x≥1）函數(shù)g（x）=$\frac{1}{{x}^{2}-2x+4}$，（0＜x$≤\sqrt{a}$+1，其中a＞0）．
令h（x）為函數(shù)f（x）與g（x）的積函數(shù)．
（1）求函數(shù)h（x）的表達(dá)式，并求出其定義域；
（2）當(dāng)h（x）的值域?yàn)閇$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）直接相乘，可得函數(shù)h（x）的表達(dá)式，并求出其定義域；
（2）當(dāng)h（x）的值域?yàn)閇$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]時(shí)，4≤x+$\frac{4}{x}$≤5，x+$\frac{4}{x}$=5時(shí)，x=1或4．可得2≤$\sqrt{a}$+1≤4，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）h（x）=f（x）g（x）=$\frac{x}{{x}^{2}-2x+4}$（1≤x$≤\sqrt{a}$+1，其中a＞0）．
（2）h（x）=$\frac{1}{x+\frac{4}{x}-2}$，
∵h(yuǎn)（x）的值域?yàn)閇$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]，
∴4≤x+$\frac{4}{x}$≤5，
x+$\frac{4}{x}$=5時(shí)，x=1或4．
∴2≤$\sqrt{a}$+1≤4，
∴1≤a≤9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)解析式的確定，考查函數(shù)的值域，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．