Question

16．三棱錐A-BCD的外接球半徑為$\sqrt{13}$，AD=2，且滿足$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AD}=0$，則三棱錐A-BCD體積的最大值為（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． 8
• D． 16

Answer 1

分析 三棱錐A-BCD中，側棱AB、AC、AD兩兩垂直，補成長方體，兩者的外接球是同一個，長方體的對角線就是球的直徑，求出長方體的三度，轉化為對角線長，再根據基本不等式，即可求出最大值．

解答 解：∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AD}=0$，
∴側棱AB、AC、AD兩兩垂直，
補成長方體，兩者的外接球是同一個，長方體的對角線就是球的直徑，
設長方體的三度為a，b，c由題意得：a²+b²+c²=4R²=4×13=52，
∵AD=c=2，
∴a²+b²=48，
∴48=a²+b²≥2ab，即ab≤24，
∴V_A-BCD=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$abc≤8，
故選：C．

點評 本題考查幾何體的外接球的體積，三棱錐轉化為長方體，兩者的外接球是同一個，以及長方體的對角線就是球的直徑是解題的關鍵所在，屬于中檔題．