Question

10．已知定義域為R的奇函數(shù)y=f（x）的導函數(shù)為y=f′（x），當x≠0時，$f′（x）+\frac{f（x）}{x}$＞0，若a=f（1），b=-2f（-2），c=（ln$\frac{1}{2}$）f（ln$\frac{1}{2}$），則a，b，c的大小關系正確的是（　�。�

• A． a＜c＜b
• B． b＜c＜a
• C． a＜b＜c
• D． c＜a＜b

Answer 1

分析 根據(jù)a，b，c的表示形式構造函數(shù)g（x）=xf（x），根據(jù)條件可說明x＞0時，g′（x）＞0，這便得到g（x）在（0，+∞）上單調遞增．而由f（x）為奇函數(shù)便可得到b=2f（2），c=（ln2）f（ln2），而容易判斷l(xiāng)n2＜1＜2，從而得到g（ln2）＜g（1）＜g（2），這樣便可得出a，b，c的大小關系．

解答 解：設g（x）=xf（x），$g′（x）=f（x）+xf′（x）=x[f′（x）+\frac{f（x）}{x}]$；
∵x≠0時，$f′（x）+\frac{f（x）}{x}＞0$；
∴x＞0時，g′（x）＞0；
∴g（x）在（0，+∞）上單調遞增；
∵f（x）為奇函數(shù)；
∴b=-2f（-2）=2f（2），$c=（ln\frac{1}{2}）f（ln\frac{1}{2}）=（-ln2）f（-ln2）=（ln2）f（ln2）$；
又a=f（1）=1f（1）；
∵ln2＜1＜2，g（x）在（0，+∞）上單調遞增；
∴g（ln2）＜g（1）＜g（2）；
即（ln2）f（ln2）＜1f（1）＜2f（2）；
∴c＜a＜b．
故選：D．

點評 考查構造函數(shù)解決問題的方法，會求積的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)符號判斷函數(shù)單調性的方法，以及奇函數(shù)的定義，增函數(shù)的定義．