Question

5．已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁=1，且滿足對(duì)任意的n∈N^*，都有a_n+1-a_n≤2ⁿ，a_n+2-a_n≥3×2ⁿ成立，S_n是數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，且有$\frac{{S}_{n}}{2}$=1+$\frac{n-1}{n}$b_n．則滿足a _n+2＜b_n的最小正整數(shù)n為4？

Answer 1

分析 通過a_n+1-a_n≤2ⁿ，a_n+2-a_n≥3×2ⁿ成立可知a_n+1-a_n=2ⁿ，進(jìn)而累加計(jì)算可知a_n=2ⁿ-1，通過前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系對(duì)$\frac{{S}_{n}}{2}$=1+$\frac{n-1}{n}$b_n變形、化簡可知$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=2•$\frac{n+1}{n}$，
進(jìn)而利用累乘法計(jì)算可知b_n=n•2ⁿ，從而問題轉(zhuǎn)化為解不等式2ⁿ⁺²-1＜n•2ⁿ，計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：∵a_n+1-a_n≤2ⁿ，∴-a_n+1+a_n≥-2ⁿ，
又∵a_n+2-a_n≥3×2ⁿ，
∴a_n+2-a_n+1=a_n+2-a_n-a_n+1+a_n≥3×2ⁿ-2ⁿ=2ⁿ⁺¹，
∴a_n+1-a_n≥2ⁿ，
又∵a_n+1-a_n≤2ⁿ，
∴a_n+1-a_n=2ⁿ，
又∵a₁=1，
∴a_n=a_n-a_n-1+a_n-1-a_n-2+…+a₃-a₂+a₂-a₁+a₁
=2^n-1+2^n-2+…+2²+2+1
=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$
=2ⁿ-1，
∵$\frac{{S}_{n}}{2}$=1+$\frac{n-1}{n}$b_n，
∴$\frac{_{n+1}}{2}$=$\frac{n}{n+1}$•b_n+1-$\frac{n-1}{n}$•b_n，
整理得：$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=2•$\frac{n+1}{n}$，
∴$\frac{_{n}}{_{n-1}}$=2•$\frac{n}{n-1}$，$\frac{_{n-1}}{_{n-2}}$=2•$\frac{n-1}{n-2}$，…，$\frac{_{2}}{_{1}}$=$2•\frac{2}{1}$，
累乘得：$\frac{_{n}}{_{1}}$=n•2^n-1，
又∵$\frac{_{1}}{2}$=1+$\frac{1-1}{1}$•b₁，即b₁=2，
∴b_n=n•2ⁿ，
∵a_n+2＜b_n，
∴2ⁿ⁺²-1＜n•2ⁿ，
∴（4-n）•2ⁿ≤1，
∴當(dāng)n=4時(shí)上式首次成立，
∴滿足條件的最小正整數(shù)n為4，
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前，利用累加法、累乘法是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．