Question

10．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞b＞0）$右焦點(diǎn)為F，又橢圓與x軸正半軸交于A(yíng)點(diǎn)，與y軸正半軸交于點(diǎn)B（0，2），且$\overline{BF}•\overline{BA}=4\sqrt{2}+4$，過(guò)點(diǎn)D（4，0）作直線(xiàn)l交橢圓于不同的兩點(diǎn)P，Q．
（1）求橢圓的方程；
（2）若在x軸上的點(diǎn)M（m，0），使$|{\overline{MP}}|=|{\overline{MQ}}|$，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得B（0，b），F(xiàn)（c，0），D（ $\frac{{a}^{2}}{c}$，0）．即可表示出 $\overrightarrow{BF}$，$\overrightarrow{FD}$，$\overrightarrow{BF}$•$\overrightarrow{FD}$，又a²=b²+c²，即可得出橢圓的方程；
（2）設(shè)l的方程為y=k（x-4），與橢圓方程聯(lián)立，利用△＞0即可得出k的取值范圍；設(shè)交點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中點(diǎn)R（x₀，y₀），利用（2）中的根與系數(shù)的關(guān)系和中點(diǎn)坐標(biāo)公式可用k表示點(diǎn)R的坐標(biāo)，當(dāng)k=0時(shí)，容易得出M；k≠0時(shí)，若|$\overrightarrow{MP}$|=|$\overrightarrow{MQ}$|?MR⊥l?k•kMR=-1，再根據(jù)k的取值范圍即可得出．

解答 解：（1）由題意可得B（0，b），F(xiàn)（c，0），D（$\frac{{a}^{2}}{c}$，0）．
于是$\overrightarrow{BF}$=（c，-b），$\overrightarrow{FD}$=（$\frac{{a}^{2}}{c}$-c，0）=（$\frac{^{2}}{c}$，0）=（2，0）．
故$\frac{^{2}}{c}$=2，$\overrightarrow{BF}$•$\overrightarrow{FD}$=b2=4
∴c=2，于是a²=b²+c²=8
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（2）點(diǎn)D（4，0）在橢圓的外部，當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)l與橢圓C無(wú)交點(diǎn)，所以l的斜率存在．
故設(shè)l的方程為y=k（x-4），由$\left\{\begin{array}{l}\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1\\ y=k（x-4）\end{array}\right.$得（2k²+1）x²-16k²x+32k²-8=0，
依題意△=-（64k²-32）＞0，k²＜$\frac{1}{2}$
∴l(xiāng)的斜率的取值范圍為-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜k＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
設(shè)交點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中點(diǎn)R（x₀，y₀），則x₁+x₂=$\frac{16{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，
x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{8{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，y₀=k（x₀-4）=k（$\frac{8{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$-4）=$\frac{-4k}{2{k}^{2}+1}$．
當(dāng)k=0時(shí)，P、Q為長(zhǎng)軸的兩個(gè)頂點(diǎn)．
此時(shí)M（0，0）滿(mǎn)足|$\overrightarrow{MP}$|=|$\overrightarrow{MQ}$|，
k≠0時(shí)，若|$\overrightarrow{MP}$|=|$\overrightarrow{MQ}$|?MR⊥l?k•k_MR=-1
又k_MR=$\frac{4k}{2{k}^{2}+1}$÷（m-$\frac{8{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$）=$\frac{4k}{（2m-8）{k}^{2}+m}$
由k_MR•k=-1，即4k²=-（2m-8）k²-m=（8-2m）k²-m（4-2m）k²=m．
∵0＜k2＜$\frac{1}{2}$，∴m≠2時(shí)，k2=$\frac{m}{4-2m}$．
∴0＜$\frac{m}{4-2m}$＜$\frac{1}{2}$．
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{m}{4-2m}＞0\\ \frac{m}{4-2m}＜\frac{1}{2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}0＜m＜2\\ m＞2或m＜1\end{array}\right.$，
∴0＜m＜1綜上得0≤m＜1．

點(diǎn)評(píng) 熟練掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到△＞0即根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、相互垂直的直線(xiàn)之間的關(guān)系等是解題的關(guān)鍵．