Question

14．已知圓：x²+y²-4x-4y+7=0的圓心為C，從圓外一點(diǎn)P（a，b）向圓作切線PT，T為切點(diǎn)，且滿足|PT|=|PO|（0為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）求|PT|的最小值以及相應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）求△PCT周長的最小值．

Answer 1

分析 （1）先求出圓心C（2，2），半徑r=1，由已知得a²+b²=（a-2）²+（b-2）²-1，由此能求出|PT|的最小值及相應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（2）△PCT周長取最小值時(shí)，P（$\frac{7}{8}$，$\frac{7}{8}$），|PT|=$\frac{7\sqrt{2}}{8}$，|TC|=1，由此能求出△PCT周長的最小值．

解答 解：（1）∵圓：x²+y²-4x-4y+7=0的圓心為C，
∴圓心C（2，2），半徑r=$\frac{1}{2}\sqrt{16+16-28}$=1，
∵從圓外一點(diǎn)P（a，b）向圓作切線PT，T為切點(diǎn)，且滿足|PT|=|PO|（0為坐標(biāo)原點(diǎn)），
∴a²+b²=（a-2）²+（b-2）²-1，
整理，得4a+4b=7，
∴|PT|²=a²+b²=a²+（$\frac{7}{4}-a$）²=2a²-$\frac{7}{2}a$+$\frac{49}{16}$=2（a-$\frac{7}{8}$）²+$\frac{49}{32}$，
∴|PT|的最小值為$\frac{7\sqrt{2}}{8}$，相應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（$\frac{7}{8}$，$\frac{7}{8}$）．
（2）由（1）得△PCT周長取最小值時(shí)，P（$\frac{7}{8}$，$\frac{7}{8}$），|PT|=$\frac{7\sqrt{2}}{8}$，|TC|=1，
|PC|=$\sqrt{（\frac{7}{8}-2）^{2}+（\frac{7}{8}-2）^{2}}$=$\frac{3}{2}$，
∴△PCT周長的最小值L=$\frac{7\sqrt{2}}{8}+1+\frac{3}{2}$=$\frac{20+7\sqrt{2}}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的切線長的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，考查三角形周長的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意兩點(diǎn)間距離公式的合理運(yùn)用．