Question

5．由點P向圓x²+y²=1引兩條切線PA、PB，A、B是切點，則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最小值是（　�。�

• A． 6-4$\sqrt{2}$
• B． 3-2$\sqrt{2}$
• C． 2$\sqrt{2}$-3
• D． 4$\sqrt{2}$-6

Answer 1

分析 先畫出圖形，可設(shè)圓心為O，OP=x，從而可以得出$PA=PB=\sqrt{{x}^{2}-1}$，$sin∠APO=\frac{1}{x}$，根據(jù)二倍角的余弦公式便可得到$cos∠APB=1-\frac{2}{{x}^{2}}$，從而可求出$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}={x}^{2}+\frac{2}{{x}^{2}}-3$，這樣根據(jù)基本不等式即可求出$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的最小值．

解答 解：如圖，

設(shè)圓心為O，OP=x，則：PA²=x²-1，$sin∠APO=\frac{1}{x}$；
∴$cos∠APB=1-\frac{2}{{x}^{2}}$；
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=|\overrightarrow{PA}||\overrightarrow{PB}|cos∠APB$=$（{x}^{2}-1）（1-\frac{2}{{x}^{2}}）$=${x}^{2}+\frac{2}{{x}^{2}}-3$$≥2\sqrt{2}-3$；
當(dāng)且僅當(dāng)${x}^{2}=\frac{2}{{x}^{2}}$，即$x=\root{4}{2}$時取“=”；
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的最小值為$2\sqrt{2}-3$．
故選：C．

點評 考查直角三角形邊的關(guān)系，正弦函數(shù)的定義，二倍角的余弦公式，清楚圓心和切點的連線與切線的關(guān)系，向量數(shù)量積的計算公式，以及利用基本不等式求最小值的方法．