Question

10．過橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1的左焦點F₁作傾斜角$\frac{π}{4}$為的線直線交橢圓于A，B兩點，F(xiàn)₂是右焦點，求△ABF₂的面積．

Answer 1

分析 首先根據(jù)已知條件建立方程組，通過韋達定理結合，利用弦長公式，求出|AB|．通過點到直線的距離求解三角形的高，然后求解三角形的面積．

解答 解：橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1的左焦點F₁（-1，0），傾斜角為$\frac{π}{4}$的直線l的斜率為：k=1
則：直線l的方程為：y=x+1，組成方程組：$\left\{\begin{array}{l}\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1\\ y=x+1\end{array}\right.$，消去y可得：3x²+4x=0，
設A（x₁，y₁）  B（x₂，y₂），解得x₁=0，x₂=-$\frac{4}{3}$，
AB=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．
F₂（1，0）到直線AB的距離為：d=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$
${S}_{{△ABF}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|AB|d=$\frac{1}{2}×\frac{4\sqrt{2}}{3}×\sqrt{2}$=$\frac{4}{3}$．
△ABF₂的面積：$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查的知識要點：點斜式直線方程，弦長公式的應用，點到直線的距離及相關的運算問題．