Question

17．已知非零向量$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$．求證：$\frac{|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow|}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|}$≤$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0$．然后使用逆推法找出不等式成立的條件即可．

解答 證明：∵$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0$．
要證$\frac{|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow|}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|}$≤$\sqrt{2}$，
只需證|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow$|≤$\sqrt{2}$|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|．
只需證|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow$|²+2|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|≤2|$\overrightarrow{a}$|²+2|$\overrightarrow$|²．
即|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow$|²-2|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|≥0．
即（|$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow$|）²≥0．
顯然上式恒成立．

點評 本題考查了平面向量的應(yīng)用，