Question

4．已知函數(shù)f（x）=x³-x²+$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{4}$．求證：
（1）函數(shù)f（x）有零點；
（2）存在x₀∈（0，$\frac{1}{2}$），使f（x₀）=x₀．

Answer 1

分析 （1）可判斷函數(shù)f（x）在其定義域上連續(xù)，且f（0）=$\frac{1}{4}$＞0，f（-1）=-1-1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$＜0，從而證明；
（2）令g（x）=f（x）-x=x³-x²-$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{4}$，從而證明．

解答 證明：（1）∵函數(shù)f（x）=x³-x²+$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{4}$在其定義域上連續(xù)，
且f（0）=$\frac{1}{4}$＞0，f（-1）=-1-1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$＜0，
∴f（-1）f（0）＜0，
故函數(shù)f（x）有零點；
（2）令g（x）=f（x）-x=x³-x²-$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{4}$，
g（0）=$\frac{1}{4}$＞0，g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$=-$\frac{1}{8}$＜0，
故g（0）g（$\frac{1}{2}$）＜0，
故存在x₀∈（0，$\frac{1}{2}$），使f（x₀）=x₀．

點評 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用及零點判定定理的應(yīng)用．