Question

11．已知二次函數f（x）滿足f（0）=0，且f（x+1）-f（x）=2x-1（x∈R）．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若m＞0，函數f（x）在[m，m+2]上的最小值為3，求實數m的值．

Answer 1

分析 （1）設f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=0得c=0，由f（x+1）-f（x）=2x-1，得2ax+a+b=2x-1，解方程組求出a，b的值，從而求出函數的解析式．
（2）分類討論，利用函數f（x）在[m，m+2]上的最小值為3，求實數m的值．

解答 解：（1）設f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=0得c=0，
故f（x）=ax²+bx．
因為f（x+1）-f（x）=2x-1，
所以a（x+1）²+b（x+1）-（ax²+bx）=2x-1．
即2ax+a+b=2x-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a=2}\\{a+b=-1}\end{array}\right.$，解得：a=1，b=-2，
∴f（x）=x²-2x．
（2）f（x）=x²-2x=（x-1）²-1
m+2＜1，即m＜-1，f（m+2）=3，∴m=-3，不符合；
m≤1≤m+2，f（1）=-1，不符合；
m＞1，f（m）=3，∴m=3，
綜上，m=3．

點評 本題考查了函數的解析式的求法，待定系數法是常用的方法之一，本題屬于中檔題．