Question

18．設(shè)雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F（c，0），右頂點為A（a，0），過F作x軸的垂線與雙曲線交于B，C兩點，過B，C分別作AC，AB的垂線，兩垂線交于點D．，若D到直線BC的距離等于a+c，則雙曲線的離心率為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由題意可得D為△ABC的垂心，求得D（-a，0），再由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，計算即可得到a=b，由離心率公式即可得到所求．

解答 解：由題意可得D為△ABC的垂心，
即有AD⊥BC，即D在x軸上，
由D到直線BC的距離等于a+c，
則D（-a，0），
令x=c，可得y²=b²（$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-1），
解得y=±$\frac{^{2}}{a}$，
可設(shè)B（c，$\frac{^{2}}{a}$），C（c，-$\frac{^{2}}{a}$），
由BD⊥AC，可得k_BD•k_AC=-1，
即$\frac{\frac{^{2}}{a}}{c+a}$•$\frac{-\frac{^{2}}{a}}{c-a}$=-1，
化簡可得a=b，即有c=$\sqrt{2}$a，
e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查三角形的垂心的概念，以及兩直線垂直的條件，考查運算能力，屬于中檔題．