Question

5．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，S_n=2a_n-2．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ） 若b_n=a_nlog₂a_n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求${S_n}-n•{2^{n+1}}+50＜0$成立的正整數(shù)n的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分類討論，從而可得數(shù)列{a_n}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，從而解得；
（Ⅱ） 化簡b_n=a_nlog₂a_n=n•2ⁿ，從而利用錯位相減法求其前n項和，從而代入解不等式即可．

解答 解：（Ⅰ）當n=1時，a₁=S₁=2a₁-2，
解得，a₁=2；
當n≥2時，S_n=2a_n-2，S_n-1=2a_n-1-2，
作差化簡可得，a_n=2a_n-1，
故數(shù)列{a_n}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，
故其通項公式a_n=2ⁿ；
（Ⅱ） b_n=a_nlog₂a_n=n•2ⁿ，
S_n=b₁+b₂+…+b_n=1•2¹+2•2²+…+n•2ⁿ，
2S_n=1•2²+2•2³+…+n•2ⁿ⁺¹，
兩式作差可得，
S_n=-2-2²-…-2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹=-2-$\frac{{2}^{2}（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$+n•2ⁿ⁺¹=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，
故S_n-n•2ⁿ⁺¹+50=-2ⁿ⁺¹+52，
故當n≤4時，-2ⁿ⁺¹+52＞0，
當n≥5時，-2ⁿ⁺¹+52＜0，
故${S_n}-n•{2^{n+1}}+50＜0$成立的正整數(shù)n的最小值為5．

點評 本題考查了等比數(shù)列的判斷與應用，同時考查了對數(shù)運算的應用及錯位相減法的應用．