Question

3．如圖，正方形ABCD的邊長為3，M為DC的中點，若N為正方形內(nèi)任意一點（含邊界），則$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$的最大值為$\frac{27}{2}$．

Answer 1

分析 以A為坐標(biāo)原點，以AB方向為x軸正方向，以AD方向為y軸方向建立坐標(biāo)系，將向量的數(shù)量積用坐標(biāo)表示，再利用線性規(guī)劃方法解決問題．

解答 解：以A為坐標(biāo)原點，以AB方向為x軸正方向，以AD方向為y軸方向建立坐標(biāo)系，
則A=（0，0），M（$\frac{3}{2}$，3），
則$\overrightarrow{AM}$=（$\frac{3}{2}$，3），
設(shè)N點坐標(biāo)為（x，y），則$\overrightarrow{AN}$=（x，y），$\left\{\begin{array}{l}{0≤x≤3}\\{0≤y≤3}\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=$\frac{3}{2}$x+3y，
設(shè)z=$\frac{3}{2}$x+3y，平移目標(biāo)函數(shù)，則過點（3，3）時有最大值，此時最大值$\frac{27}{2}$，
故答案為：$\frac{27}{2}$．

點評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，向量的主要功能就是數(shù)形結(jié)合，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，但關(guān)鍵是建立合適的坐標(biāo)系，將向量用坐標(biāo)表示，再將數(shù)量積運算轉(zhuǎn)化為方程或函數(shù)問題