Question

7．己知函數(shù)f（x）=x²+bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線3x-y+2=0平行，若函數(shù)g（x）=f（sinx），則函數(shù)g（x）的最大值是（　　）

• A． -$\frac{1}{2}$
• B． 0
• C． 2
• D． 不存在

Answer 1

分析 求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由兩直線平行的條件可得b=1，令t=sinx，即有y=（t+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，運用正弦函數(shù)的值域，以及二次函數(shù)的值域求法，可得最大值．

解答 解：函數(shù)f（x）=x²+bx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2x+b，
在點A（1，f（1））處的切線l的斜率為k=2+b，
由切線l與直線3x-y+2=0平行，可得2+b=3，解得b=1．
即有f（x）=x²+x，
函數(shù)g（x）=f（sinx）=sin²x+sinx
=（sinx+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
由t=sinx∈[-1，1]，可得y=（t+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
當(dāng)t=1時，函數(shù)y取得最大值2．
故選：C．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率，考查可化為二次函數(shù)的最值的求法，注意運用正弦函數(shù)的值域，考查運算能力，屬于中檔題．