Question

6．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠A₁B₁C₁=90°，且AB=BC=BB₁，E，F(xiàn)分別是AB，CC₁的中點(diǎn)，那么直線A₁C與EF所成的角的余弦值為（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 以B為原點(diǎn)，BA為x軸，BC為y軸，BB₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線A₁C與EF所成的角的余弦值．

解答 解：以B為原點(diǎn)，BA為x軸，BC為y軸，BB₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AB=BC=BB₁=2，則E（1，0，0），F(xiàn)（0，2，1），
A₁（2，0，2），C（0，2，0），
$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（-2，2，-2），$\overrightarrow{EF}$=（-1，2，1），
設(shè)直線A₁C與EF所成的角為θ，
則cosθ=|cos＜$\overrightarrow{{A}_{1}C}$，$\overrightarrow{EF}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{EF}}{|\overrightarrow{{A}_{1}C}|•|\overrightarrow{EF}|}$|=|$\frac{2+4-2}{\sqrt{12}•\sqrt{6}}$|=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
∴直線A₁C與EF所成的角的余弦值為$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．