Question

9．已知函數(shù)f（x）=3sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$）+3．
（1）用五點(diǎn)法畫出它在一個(gè)周期內(nèi)的閉區(qū)間上的圖象；
（2）若α為第二象限角，且f（2α-π）=3+2$\sqrt{2}$，求$\frac{cosαcos2α}{1+cos2α+sin2α}$的值．

Answer 1

分析 （1）用五點(diǎn)法作函數(shù)f（x）在一個(gè)周期上的簡圖．
（2）由f（2α-π）=3+2$\sqrt{2}$，可得：sin（α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，解得：sinα-cosα=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，利用α為第二象限角，由二倍角公式化簡所求后即可計(jì)算求值．

解答 解：（1）列表：

$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	-$\frac{π}{2}$	$\frac{π}{2}$	$\frac{3π}{2}$	$\frac{5π}{2}$	$\frac{7π}{2}$
y	3	6	3	0	3

作圖：

（2）∵f（2α-π）=3+2$\sqrt{2}$，f（x）=3sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$）+3．
∴3sin（α-$\frac{π}{4}$）+3=3+2$\sqrt{2}$，可得：sin（α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，解得：sinα-cosα=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∵α為第二象限角，sinα＞0，cosα＜0，可得：cosα-sinα=-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴$\frac{cosαcos2α}{1+cos2α+sin2α}$=$\frac{cosα（co{s}^{2}α-si{n}^{2}α）}{2co{s}^{2}α+2sinαcosα}$=$\frac{（cosα-sinα）（cosα+sinα）}{2cosα+2sinα}$=$\frac{cosα-sinα}{2}$=-$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查用五點(diǎn)法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）在一個(gè)周期上的簡圖，考查了二倍角公式，兩角差的正弦函數(shù)公式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于中檔題．