Question

13．在數(shù)列{a_n}中，已知a₁=1，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{3{a}_{n}+2}$（n∈N₊），求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 把已知的數(shù)列遞推式變形，得到數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1為首項，以$\frac{3}{2}$為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項公式得答案．

解答 解：由a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{3{a}_{n}+2}$，得$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{3{a}_{n}+2}{2{a}_{n}}=\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{3}{2}$，
即$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{3}{2}$，
又a₁=1，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1為首項，以$\frac{3}{2}$為公差的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}=1+\frac{3}{2}（n-1）=\frac{3}{2}n-\frac{1}{2}$=$\frac{3n-1}{2}$，
則${a}_{n}=\frac{2}{3n-1}$．

點評 本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，考查了等差數(shù)列的通項公式，是中檔題．