Question

15．已知函數(shù)f（x），x∈R對任意的實數(shù)a，b都有f（ab）=f（a）+f（b），且當x＞1時，f（x）＜0
（1）求f（-1）的值．
（2）求證：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）可令a=b=1，求得f（1）=0；再令a=b=-1，可得f（-1）；
（2）運用單調性的定義證明，注意作差、變形和定符號、下結論幾個步驟．

解答 解：（1）任意的實數(shù)a，b都有f（ab）=f（a）+f（b），
令a=b=1，可得f（1）=2f（1），解得f（1）=0；
再令a=b=-1，可得f（1）=2f（-1）=0，
解得f（-1）=0；
（2）證明：設0＜x₁＜x₂，則$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，
由x＞1，f（x）＜0，可得
f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＜0，
又f（x₂）=f（x₁•$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）=f（x₁）+f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＜f（x₁），
即有f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．

點評 本題考查函數(shù)值的求法，注意運用賦值法，考查函數(shù)的單調性的證明，注意運用單調性的定義，考查推理和運算能力，屬于基礎題．