Question

4．已知f（x）為定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈[-1，0]時，函數(shù)解析式f（x）=$\frac{1}{{4}^{x}}$-$\frac{a}{{2}^{x}}$（a∈R）．
（1）寫出f（x）在[0，1]上的解析式；
（2）求f（x）在[0，1]上的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出a=1；設(shè)x∈[0，1]，則-x∈[-1，0]，利用條件，即可寫出f（x）在[0，1]上的解析式；
（Ⅱ）利用換元法求f（x）在[0，1]上的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）為定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且f（x）在x=0處有意義，
∴f（0）=0，即f（0）=$\frac{1}{40}$-$\frac{a}{20}$=1-a=0．
∴a=1．…（3分）
設(shè)x∈[0，1]，則-x∈[-1，0]．
∴f（-x）=$\frac{1}{4-x}$-$\frac{1}{2-x}$=4^x-2^x．
又∵f（-x）=-f（x）
∴-f（x）=4^x-2^x．
∴f（x）=2^x-4^x．…（8分）
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，1]，f（x）=2^x-4^x=2^x-（2^x）²，
∴設(shè)t=2^x（t＞0），則f（t）=t-t²．
∵x∈[0，1]，∴t∈[1，2]．
當(dāng)t=1時，取最大值，最大值為1-1=0．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的奇偶性，考查函數(shù)解析式的確定，考查函數(shù)的最值，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．