Question

15．已知等差數(shù)列{a_n}和單調(diào)遞減數(shù)列{b_n}（n∈N^*），{b_n}通項(xiàng)公式為b_n=λn²+a₇•n．若a₃，a₁₁是方程x²-x-2=0的兩根，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，-3）
• B． $（{-∞，-\frac{1}{6}}）$
• C． $（{-\frac{1}{6}，+∞}）$
• D． （-3，+∞）

Answer 1

分析 根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合根與系數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：：∵a₃，a₁₁是x²-x-2=0的兩根，
∴a₃+a₁₁=1．（或兩根為2，-1⇒a₃+a₁₁=1）
∵{a_n}是等差數(shù)列，
∴${a_3}+{a_{11}}=2{a_7}⇒{a_7}=\frac{1}{2}$，
∴${b_n}=λ{(lán)n^2}+\frac{1}{2}n$．
∵{b_n}遞減，∴b_n+1-b_n＜0對(duì)n∈N^*恒成立，$⇒λ{(lán)（n+1）^2}+\frac{1}{2}（n+1）-（λ{(lán)n^2}+\frac{1}{2}n）＜0$$⇒λ（2n+1）+\frac{1}{2}＜0$，
∴$λ＜-\frac{1}{4n+2}$對(duì)n∈N^*恒成立．
∵${（-\frac{1}{4n+2}）_{min}}=-\frac{1}{6}$，∴$λ＜-\frac{1}{6}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合等差數(shù)列，以及根與系數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．