Question

已知函數f（x）=

ax2-2x-1，x≥0 x2+bx+c，x＜0

是偶函數，若方程f（x）-t=0有四個不同的實數解，則實數t的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：根據偶函數的性質建立方程關系，即可求出a，b，c的值，根據解析式畫出函數圖象，然后利用數形結合即可的結論．

解答： 解：∵f（x）是偶函數，∴f（-x）=f（x），
若x＜0，則-x＞0，
此時f（-x）=f（x），即ax²+2x-1=x²+bx+c，
即a=1，b=2，c=-1，
則f(x)=

x2-2x-1，x≥0 x2+2x-1，x＜0

作出函數f（x）的圖象如圖：
由圖象可知當直線y=t經過點（0，-1）時，此時兩個函數有3個交點，此時t=-1，
當直線y=t經過點（0，-2）時，此時兩個函數有2個交點，此時t=-2，
由圖得，當直線y=t處在直線y=-2和直線y=-1之間時，兩個函數圖象有四個交點，
則實數t的取值范圍是：（-2，-1），
故答案為：（-2，-1）．

點評：本題主要考查函數零點個數的問題，利用函數的奇偶性，求出函數f（x）的表達式是解決本題的關鍵，利用數形結合是解決本題的基本思想，綜合性較強．