Question

3．已知斜率為1的直線l經(jīng)過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，|AB|=4．
（I）求p的值；
（Ⅱ）設(shè)經(jīng)過點(diǎn)B和拋物線對稱軸平行的直線交拋物線y²=2px的準(zhǔn)線于點(diǎn)D，求證：A，O，D三點(diǎn)共線（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

Answer 1

分析 （I）由$\left\{\begin{array}{l}y=x-\frac{p}{2}\\{y^2}=2px\end{array}\right.$消y并整理，利用|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+p=4，求p的值；
（Ⅱ）寫出點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)，可利用斜率相等，證明三點(diǎn)共線．

解答 解：（I）由題意可知，拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)坐標(biāo)為$F（\frac{p}{2}，0）$，
準(zhǔn)線方程為$x=-\frac{p}{2}$．
所以，直線l的方程為$y=x-\frac{p}{2}$…（2分）
由$\left\{\begin{array}{l}y=x-\frac{p}{2}\\{y^2}=2px\end{array}\right.$消y并整理，得${x^2}-3px+\frac{p^2}{4}=0$…（3分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則x₁+x₂=3p，
又|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+p=4，
所以，3p+p=4，p=1…（6分）
（II）由（I）可知，拋物線的方程為y²=2x．
設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為$（\frac{{{y_0}^2}}{2}，{y_0}）$，又焦點(diǎn)$F（\frac{1}{2}，0）$，
當(dāng)$\frac{{{y_0}^2}}{2}≠\frac{1}{2}$時，直線AB的斜率為$k=\frac{{{y_0}-0}}{{\frac{{{y_0}^2}}{2}-\frac{1}{2}}}=\frac{{2{y_0}}}{{{y^2}_0-1}}$．
所以，直線AB的方程為$y-0=\frac{{2{y_0}}}{{{y_0}^2-1}}（x-\frac{1}{2}）$，即$y=\frac{{2{y_0}}}{{{y_0}^2-1}}x-\frac{y_0}{{{y_0}^2-1}}$…（9分）
由$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{{2{y_0}}}{{{y_0}^2-1}}x-\frac{y_0}{{{y_0}^2-1}}\\{y^2}=2x\end{array}\right.$消x并整理，得${y^2}-\frac{{{y_0}^2-1}}{y_0}y-1=0$
所以，y₁y₂=-1
又y₂=y₀，所以，${y_1}=-\frac{1}{y_0}$，${x_1}=\frac{1}{{2{y_0}^2}}$即$A（\frac{1}{{2{y_0}^2}}，-\frac{1}{y_0}）$．…（11分）
由題意可知，點(diǎn)D的坐標(biāo)為$（-\frac{1}{2}，{y_0}）$，
所以，OA的斜率為${k_{OA}}=\frac{{-\frac{1}{y_0}}}{{\frac{1}{{2{y_0}^2}}}}=-2{y_0}$，OD的斜率為${k_{OD}}=\frac{y_0}{{-\frac{1}{2}}}=-2{y_0}$，即k_OA=k_OD
所以，A，O，D三點(diǎn)共線．…（13分）
當(dāng)$\frac{{{y_0}^2}}{2}=\frac{1}{2}$時，|AB|=2不合題意，舍去．…（14分）

點(diǎn)評 本題考查拋物線的方程與性質(zhì)，考查三點(diǎn)共線的證明，涉及分類討論的思想，屬中檔題．