Question

11．若關(guān)于x的方程25^-|x+1|-4•5^-|x+1|-m=0有實(shí)根，求m的取值范圍．
變題1：設(shè)有兩個(gè)命題：①關(guān)于x的方程9^x+（4+a）•3^x+4=0有解；②函數(shù)$f（x）={log_{2{a^2}-a}}x$是減函數(shù)．當(dāng)①與②至少有一個(gè)真命題時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是$（{-∞，-8}]∪（{-\frac{1}{2}，0}）∪（{\frac{1}{2}，1}）$
變題2：方程x²-2ax+4=0的兩根均大于1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是$[{2，\frac{5}{2}}）$．

Answer 1

分析 令t=5^-|x+1|，則t∈（0，1]，方程25^-|x+1|-4•5^-|x+1|-m=0可化為：m=t²-4t，此時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，進(jìn)而可得m的取值范圍．
變題1：令t=3^x，則t∈（0，+∞），方程9^x+（4+a）•3^x+4=0可化為：a=-（t+$\frac{4}{t}$）-4，結(jié)合基本不等式可得：①為真時(shí)實(shí)數(shù)a的取值范圍；
若函數(shù)$f（x）={log_{2{a^2}-a}}x$是減函數(shù)，則$\left\{\begin{array}{l}2{a}^{2}-a＞0\\ 2{a}^{2}-a≠1\end{array}\right.$，解得：②為真時(shí)實(shí)數(shù)a的取值范圍；綜合可得答案；
變題2：方程x²-2ax+4=0的兩根均大于1，則$\left\{\begin{array}{l}△=4{a}^{2}-16≥0\\ a＞1\\ 1-2a+4＞0\end{array}\right.$，解得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：令t=5^-|x+1|，則t∈（0，1]，方程25^-|x+1|-4•5^-|x+1|-m=0可化為：m=t²-4t，
此時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，
當(dāng)t=0時(shí)，m=0，當(dāng)t=1時(shí)，m=-3，
∴m∈[-3，0）；
變題1：令t=3^x，則t∈（0，+∞），方程9^x+（4+a）•3^x+4=0可化為：a=-（t+$\frac{4}{t}$）-4≤-2$\sqrt{t•\frac{4}{t}}$-4=-8，
即①為真時(shí)，a≤-8，
若函數(shù)$f（x）={log_{2{a^2}-a}}x$是減函數(shù)，則$\left\{\begin{array}{l}2{a}^{2}-a＞0\\ 2{a}^{2}-a≠1\end{array}\right.$，
解得：a∈$（-\frac{1}{2}，0）∪（\frac{1}{2}，1）$，
若①與②至少有一個(gè)真命題，
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是：$（{-∞，-8}]∪（{-\frac{1}{2}，0}）∪（{\frac{1}{2}，1}）$，
變題2：方程x²-2ax+4=0的兩根均大于1，
則$\left\{\begin{array}{l}△=4{a}^{2}-16≥0\\ a＞1\\ 1-2a+4＞0\end{array}\right.$，
解得：a∈$[{2，\frac{5}{2}}）$
故答案為：$（{-∞，-8}]∪（{-\frac{1}{2}，0}）∪（{\frac{1}{2}，1}）$；$[{2，\frac{5}{2}}）$

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了方程根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系，指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，難度中檔．