Question

13．已知函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=1n（$\sqrt{1+{x}^{2}}$-x）．
（1）證明函數(shù)f（x）在[0，+∞）上為減函數(shù)；
（2）若f（t）+f（1-2t）＜0，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）證明f′（x）=-$\frac{1}{\sqrt{1+{x}^{2}}}$＜0，即可證明函數(shù)f（x）在[0，+∞）上為減函數(shù)；
（2）利用函數(shù)f（x）在R上為減函數(shù)，函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，結(jié)合f（t）+f（1-2t）＜0，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答 （1）證明：∵當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=1n（$\sqrt{1+{x}^{2}}$-x），
∴f′（x）=-$\frac{1}{\sqrt{1+{x}^{2}}}$＜0，
∴函數(shù)f（x）在[0，+∞）上為減函數(shù)；
（2）解：∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，函數(shù)f（x）在[0，+∞）上為減函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在R上為減函數(shù)
∵f（t）+f（1-2t）＜0，
∴f（t）＜f（2t-1），
∴t＞2t-1，
∴t＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．