Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n.若對任意的正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得S_n＝a_m，則稱{a_n}是“H數(shù)列”．

(1)若數(shù)列{a_n}的前n項和S_n＝2ⁿ(n∈N^*)，證明：{a_n}是“H數(shù)列”；

(2)設(shè){a_n}是等差數(shù)列，其首項a₁＝1，公差d<0.若{a_n}是“H數(shù)列”，求d的值；

(3)證明：對任意的等差數(shù)列{a_n}，總存在兩個“H數(shù)列”{b_n}和{c_n}，使得a_n＝b_n＋c_n(n∈N^*)成立．

Answer 1

解　(1)首先a₁＝S₁＝2，當(dāng)n≥2時，a_n＝S_n－S_n－1＝2ⁿ－2^n－1＝2^n－1，∴

∴對于任意的n∈N^*，S_n＝2ⁿ是數(shù)列{a_n}中的n＋1項，因此數(shù)列{a_n}是“H數(shù)列”．

(2)由題意a_n＝1＋(n－1)d，S_n＝n＋d，數(shù)列{a_n}是“H數(shù)列”，則存在k∈N^*，使n＋d＝1＋(k－1)d，k＝＋＋1，由于∈N^*，又k∈N^*，則∈Z對一切正整數(shù)n都成立，∴d＝－1.

(3)若d_n＝bn(b是常數(shù))，則數(shù)列{d_n}前n項和為S_n＝b是數(shù)列{d_n}中的第項，因此{(lán)d_n}是“H數(shù)列”，對任意的等差數(shù)列{a_n}，a_n＝a₁＋(n－1)d(d是公差)，設(shè)b_n＝na₁，c_n＝(d－a₁)(n－1)，則a_n＝b_n＋c_n，而數(shù)列{b_n}，{c_n}都是“H數(shù)列”．