Question

1．已知拋物線y²=2px（p＞0）上一點M（1，m）（m＞0）到其焦點的距離為5，雙曲線x²-ay²=a的左頂點為A，若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行，則實數(shù)a等于（　�。�

• A． $\frac{1}{9}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 求得拋物線的焦點和準(zhǔn)線方程，運用拋物線的定義，可得p=8，進(jìn)而求得M（1，4），求出雙曲線的左頂點和漸近線方程，由兩直線平行的條件，解方程即可得到a的值．

解答 解：拋物線y²=2px的焦點F為（$\frac{p}{2}$，0），準(zhǔn)線方程為x=-$\frac{p}{2}$，
由拋物線的定義可得|MF|=1+$\frac{p}{2}$=5，解得p=8，
可得拋物線的方程為y²=16x，M（1，4），
雙曲線x²-ay²=a的左頂點為A（-$\sqrt{a}$，0），
直線AM的斜率為$\frac{4}{1+\sqrt{a}}$，
又雙曲線的漸近線方程為y=$\frac{1}{\sqrt{a}}$x，
由題意可得，$\frac{1}{\sqrt{a}}$=$\frac{4}{1+\sqrt{a}}$，
解得a=$\frac{1}{9}$，
故選A．

點評 本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，考查雙曲線的漸近線方程，以及兩直線平行的條件：斜率相等，考查運算能力，屬于中檔題．