Question

9．在直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y=f（x）的圖象記為I′，若在I′上任取一點(diǎn)M，都能在I′上找到一點(diǎn)N，使得$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0，則稱圖象I′為“優(yōu)美圖象”．下列函數(shù)的圖象為“優(yōu)美圖象”的是（　�。�

• A． y=2^x+1
• B． y=log₃（x-2）
• C． y=$\frac{2}{x}$
• D． y=cosx

Answer 1

分析 根據(jù)題意，得出函數(shù)y=f（x）圖象上任一點(diǎn)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）為圖象上另一點(diǎn)，且滿足$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0，即x₁x₂+y₁y₂=0；分別舉反例或證明A、B、C中的函數(shù)不成立，D中的余弦函數(shù)滿足題意．

解答 解：根據(jù)題意，直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)函數(shù)y=f（x）圖象上任一點(diǎn)M（x₁，y₁），
N（x₂，y₂）為圖象上另一點(diǎn)，且$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0，
∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+y₁y₂=0；
對于A，任取函數(shù)y=2^x+1圖象上一點(diǎn)M（-1，1），設(shè)N（x，y），
則應(yīng)滿足-x+2^x+1=0，結(jié)合函數(shù)的圖象知該方程無解，∴A中函數(shù)不成立；
對于B，任取函數(shù)y=log₃（x-2）圖象上一點(diǎn)M（3，0），設(shè)N（x，y），
則應(yīng)滿足3x=0，則x=0，這與函數(shù)的定義域（2，+∞）矛盾，
∴N點(diǎn)不存在，即B中函數(shù)不成立；
對于C，x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+$\frac{4}{{{x}_{1}x}_{2}}$≥2或≤-2，∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+y₁y₂=0不成立，
即C中函數(shù)一定不成立；
對于D，根據(jù)余弦函數(shù)的圖象，
在函數(shù)圖象上任取一點(diǎn)M，都可以在圖象上找到一點(diǎn)N，
滿足$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0，∴D中的函數(shù)滿足題意．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查了新定義的函數(shù)的應(yīng)用問題，也考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用問題，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用問題，是綜合性題目．