Question

已知中心在原點，長軸在x軸上的橢圓，a²=

3

c，若橢圓被直線x+y+1=0截得的弦的中點的橫坐標是-

2

3

，則橢圓的方程為

 

．

Answer 1

考點：橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：首先，設(shè)橢圓的標準方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1 （a＞b＞0），然后，設(shè)出直線與橢圓的兩個交點坐標，然后，將這兩個交點坐標代入橢圓方程，兩個方程相減，得到關(guān)于a，b的一個方程，再結(jié)合給定的a，c的關(guān)系式，求解即可．

解答： 解：設(shè)橢圓的標準方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1 （a＞b＞0），
∵橢圓被直線x+y+1=0截得的弦的中點的橫坐標是-

2

3

，
∴弦的中點的縱坐標是-

1

3

，
設(shè)橢圓與直線x+y+1=0的兩個交點為P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
則

x12

a2

+

y12

b2

=1  ①

x22

a2

+

y22

b2

=1    ②
①-②，得

(x1+x2)(x1-x2)

a2

+

(y1+y2)(y1-y2)

b2

=0，③
∵x₁+x₂=2×(-

2

3

)=-

4

3

，
y₁+y₂=2×（-

1

3

）=-

2

3

，

y1-y2

x1-x2

=-1，
∴由③得
a²=2b²，
∵a²=

3

c，
∴a2=

3

2

，b2=

3

4

，
∴橢圓的標準方程為：

x2

3 2

+

y2

3 4

=1．
故答案為：

x2

3 2

+

y2

3 4

=1．

點評：本題重點考查了橢圓的幾何性質(zhì)、標準方程、直線與橢圓的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題，涉及到弦的中點問題，處理思路是“設(shè)而不求”的思想．