Question

7．若cosα+sinα=$\frac{2}{3}$，則$\frac{{\sqrt{2}sin（2α-\frac{π}{4}）+1}}{1+tanα}$的值為（　�。�

• A． -1
• B． 0
• C． $-\frac{5}{18}$
• D． $-\frac{5}{9}$

Answer 1

分析 利用兩角和差的三角公式，同角三角函數(shù)的基本關系，化簡要求的式子，把已知條件平方求得sinαcosα的值，代入要求的式子化簡．

解答 解：∵$\sqrt{2}$sin（2α-$\frac{π}{4}$）+1=$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2α-$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos2α）+1=sin2α-cos2α+1=sin2α+2sin²α，
∴原式=$\frac{sin2α+2si{n}^{2}α}{\frac{cosα+sinα}{cosα}}$=$\frac{2sinαcosα+2si{n}^{2}α}{sinα+cosα}$=$\frac{2sinαcosα（cosα+sinα）}{sinα+cosα}$=2sinαcosα．
又∵sina+cosa=$\frac{2}{3}$，∴1+2sinαcosα=$\frac{4}{9}$，2sinαcosα=-$\frac{5}{9}$．
∴原式=-$\frac{5}{9}$．
故選：D．

點評 本題考查兩角和差的三角公式，同角三角函數(shù)的基本關系，式子的變形是解題的難點和關鍵．