Question

16．如圖所示，雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)為F，左、右頂點(diǎn)為A，B過F作x軸的垂線與雙曲線交于C，D兩點(diǎn)，若AC⊥BD，則該雙曲線的離心率等于（　�。�

• A． 3
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 求出A，B的坐標(biāo)，令x=c代入雙曲線的方程可得C，D的坐標(biāo)，運(yùn)用兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，化簡可得a=b，求得c，由離心率公式計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：由題意可得A（-a，0），B（a，0），
令x=c，則y=±b$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-1}$=±$\frac{^{2}}{a}$，
可得C（c，$\frac{^{2}}{a}$），D（c，-$\frac{^{2}}{a}$），
由AC⊥BD，可得k_AC•k_BD=-1，
即有$\frac{\frac{^{2}}{a}}{c+a}$•$\frac{-\frac{^{2}}{a}}{c-a}$=-1，
化簡可得$\frac{^{4}}{{a}^{2}}$=c²-a²=b²，
即有a=b，c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{2}$a，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．