Question

16．已知函數(shù)f（x）=2sin2xcosxsin（x+$\frac{π}{6}$）-cos2xsinx（$\sqrt{3}$sinx+cosx）
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期，
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]上的最值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，利用三角函數(shù)周期公式即可得解函數(shù)f（x）的最小正周期．
（2）由x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]，可得2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{2π}{3}$，0]，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-1，0]，從而可求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]上的最值．

解答 解：（1）∵f（x）=2sin2xcosxsin（x+$\frac{π}{6}$）-cos2xsinx（$\sqrt{3}$sinx+cosx）
=sin2xcosx（$\sqrt{3}$sinx+cosx）-cos2xsinx（$\sqrt{3}$sinx+cosx）
=（$\sqrt{3}$sinx+cosx）（sin2xcosx-cos2xsinx）
=（$\sqrt{3}$sinx+cosx）sinx
=$\sqrt{3}$sin²x+cosxsinx
=$\sqrt{3}×$$\frac{1-cos2x}{2}$+$\frac{1}{2}$sin2x
=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=sin（2x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
（2）∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]，
∴2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{2π}{3}$，0]，
∴sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-1，0]，
∴f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$∈[$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．
故函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]上的最小值為$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，最大值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)周期公式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．